Sprung durch die Dimensionen

Der vierdimensionale Würfel 

Drei- und zweidimensionale Würfel: Unter einem Würfel versteht man  einen dreidimensionalen Körper mit acht Eckpunkten, dessen (zwölf) Kanten kongruente Strecken und dessen (sechs) Begrenzungsflächen kongruente Quadrate sind.Einen solchen Würfel kann man im kartesischen Koordinatensystem wie folgt beschreiben: Die Eckpunkte sind genau die Punkte, deren Koordinaten lediglich die Werte "0" und "1" annehmen. Die Kanten sind die Strecken zwischen zwei Punkten, die sich in genau einer Koordinate unterscheiden.Wendet man das gleiche Konstruktionsprinzip im zweidimensionalen Koordinatensystem an, so erhält man als zweidimensionalen Würfel ein Quadrat. 

Konstruktion des vierdimensionalen Würfels: Wie aber sieht nun der vierdimensionale Würfel aus? Hierzu benötigt man die (zweidimensionale Projektion) eines vierdimensionalen Koordinatensystems und konstruiert analog zu den vorangegangenen Fällen, wie in den folgenden Schritten gezeigt: 

Schritt 1 :	Schritt 2 :
Zunächst werden ein klassisches  Koordinatensystem mit drei Koordinatenachsen gezeichnet und dann darin ein Einheitswürfel konstruiert.	Anschließend wird eine eine weitere Koordinatenachse für die Richtung der 4. Dimension eingezeichnet und dann der in Richtung der vierten Dimension verschobene zweite (Begrenzungs-)Würfel konstruiert.
Schritt 3 :	Schritt 4 :
Weitere Kanten werden konstruiert. So entsteht der dritte Begrenzungswürfel.	Die restlichen Kanten werden konstruiert. Alle weiteren Begrenzungswürfel entstehen.
Schritt 5 :
Das (vierdimensionale) Innere des Würfels wird mit "- - - " gekennzeichnet - fertig.

Das MÖBIUS-Band - Merkwürdigkeiten bei der Einbettung in höhere Dimensionen 

Konstruktion: Ein (zweidimensionaler) Papierstreifen wird an den Enden zusammengeklebt, aber nicht so, dass ein Ring entsteht, sondern indem das Band einmal verdreht wird. Es entsteht ein Möbiusband:

Einige Eigenschaften: Obwohl das Band "offensichtlich" eine Ober- und eine Unterseite hat, so ist dies insofern nicht richtig als es möglich ist, ohne über die Kanten zu gehen von jedem Punkt der "Oberseite" jeden Punkt der "Unterseite zu erreichen.

Versuche (Ausprobieren!): Was passiert, wenn ein Möbiusband durch einen Schnitt in der Mitte parallel zu den Kanten "geteilt" wird? Was passiert, wenn ein Möbiusband mit zwei parallelen Schnitten "gedrittelt" wird? 

Gedankenversuch: Und nun stelle man sich vor wie es wäre, wenn unser dreidimensionaler Anschauungsraum ähnlich in einem vierdimensionalen Raum (z.B. einem "Raum-Zeit"-Raum) verdreht wäre!

Anwendung: Eine sehr schöne Anwendung des Möbius-Bandes ist das Loge der deutschen Ratspräsidentschaft der EU: Auf der einen Seite Deutschland in Schwarz-Rot-Gold, auf der anderen Seite Europa in Blau. Aber -wie oben gezeigt- nur ein scheinbarer Gegensatz - im Grunde genommen ist beides eine Seite der Medaille. Besser kann man die Gemeinsamkeit und das Verschmelzen der Nationalstaaten bei allen scheinbaren Gegensätzen in Europa nicht visualisieren!