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(M)ein spezielles Aufgabenformat


Die SENSEI-Aufgaben ...




... sind entstanden, um in Klassenarbeiten und Tests ein -auch für die Schüler_innen offensichtliches- einheitliches Format mit Wiedererkennungswert für Aufgaben, die sich im Anforderungsbereich III befinden, zu schaffen. Ein fiktiver Dialog zwischen dem SENSEI und dem SCHÜLER (man verzeihe mir hier die nicht gendergerechte Formulierung!) beginnt stets mit der Frage "Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?" und endet nach einer Erörterung des Themas mit "Nun, genau das ist heute meine Frage an dich!".

Ihre erfolgreiche Bearbeitung erfordert sowohl eine tiefe inhaltliche Durchdringung des behandelten Stoffes als auch Problemlöse- und Argumentationskompetenz. Zudem verlangt die Dialogform (rezeptive) Kommunikationskompetenz, die sich insofern auszahlt, als Lösungsansätze oft implizit versteckt angegeben sind.

Die folgenden Aufgaben wurden (ggf. für die Website leicht redaktionell bearbeitet) genau so in Klassernarbeiten und Test ab Schulfahr 1917/18 (für gute Schüler_innen erfolgreich!) gestellt.


Klasse 7/1 : Unterproportionale Zuordnungen untersuchen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir haben uns mit proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen beschäftigt.

SENSEI:

Dann weißt du sicherlich, wie eine proportionale Zuordnung definiert ist? 

SCHÜLER:

Klar, wenn die eine der beiden Größen größer wird, dann wird auch die andere größer.

SENSEI:

Naja, das stimmt zwar, reicht aber als präzise Definition nicht aus, wie du sicher weißt. Das habt ihr auch bestimmt anders gelernt.

SCHÜLER:

Ach ja, wenn die eine der beiden Größen verdoppelt wird, dann ver-doppelt sich auch die andere!

SENSEI:

Genau. Es könnte nämlich auch so sein, dass bei Verdoppelung der ersten Größe die zweite zwar auch größer wird, aber weniger als doppelt so groß!                                                                

SCHÜLER:

Gibt es denn sowas?

SENSEI:

Klar, solche Zuordnungen haben sogar einen Namen, sie heißen „unterproportional“!

SCHÜLER:

Und was wäre ein Beispiel dafür?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Gib ein Beispiel für eine unterproportionale Zuordnung an (z.B. durch Angabe der Größen oder eine Aufgabenstellung) und begründe kurz die Richtigkeit deines Beispiels.

Zeichne in ein Koordinatensystem ein, wie der Graph einer unterproportionalen Zuordnung aussehen könnte!


Klasse 7/2 : Mit Prozenten rechnen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir haben uns ganz lange mit Prozentrechnung beschäftigt.

SENSEI:

Das ist gut und zudem sehr wichtig, weil man im Leben oft mit Prozentzahlen konfrontiert wird.

SCHÜLER:

Ja, so ging es mir gestern. Da habe ich im Laden eines Freundes ein T-Shirt gesehen, an dem stand „Preisermäßigung um 20%“. Klingt gut, oder?

SENSEI:

Durchaus, das wäre ein tolles Schnäppchen. Hast du dann das Shirt gekauft?

SCHÜLER:

Nein, natürlich nicht! Ich habe nämlich von meinem Freund erfahren, dass seine Eltern im Geschäft vor der Preisreduzierung das Shirt um genau 20% verteuert haben!                              

SENSEI:

Das ist ja irgendwie fast Betrug!

SCHÜLER:

Genau! Erst 20% teurer und dann 20% billiger – so ein Quatsch!

SENSEI:

Wäre aber trotzdem ein -zugegeben kleineres- Schnäppchen für dich gewesen!

SCHÜLER:

Wieso denn das?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Erläutere, warum die Rechnung des Verkäufers nicht aufgeht!


Klasse 7/3 : Zahldarstellungen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir beschäftigen und damit, wie man Zahlen darstellen kann.

SENSEI:

Und was fällt die dazu ein?

SCHÜLER:

Naja, die "zwölf" z.B. kann ich durch 12 Striche, römisch als XII, als Bruch als 24/2, als Dezimalzahl als ,000 darstellen, oder aber im Stellenwertsystem als einen Zehner plus zwei Einer ... also 12.

SENSEI:

Ja, das Stellenwertsystem ist schon eine gute Erfindung. Im Dezimalsystem werden ja immer zehn Einheiten zu einer größeren Einheit zusammengefasst: Zehn Einer sind ein Zehner, zehn Zehner ein Hunderter, zehn Hunderter ein Tausender usw.

SCHÜLER:

Klar, das ist doch Stoff der Grundschule, das kann ich problemlos!

SENSEI:

Wie wäre es aber, wenn ich nicht immer zehn Einheiten zu einer neuen Einheit zusammenfasse, sondern nur jeweils zwei? Der Mathematiker nennt das dann Dualsystem!

SCHÜLER:

Wie soll denn das gehen?

SENSEI:

Nun, dann gibt es nur null oder einen Einer, weil zwei Einheiten sind dann ja schon ein Zweier, zwei Zweier ein Vierer, zwei Vierer ein Achter usw. Zwölf wäre dann ein Achter, ein Vierer, kein Zweier, kein Einer und würde 1100 geschrieben.

SCHÜLER:

Aber warum macht man den so etwas?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Gib an und erkläre, wie die Dezimalzahl 19 als Dualzahl geschrieben wird.

Gib je einen Vorteil und einen Nachteil an, eine Zahl als Dualzahl zu schreiben

Erörtere den Ausspruch "Es gibt genau 10 Positionen zum Dualsystem: Entweder man versteht es, oder man versteht es nicht".


Klasse 9/1 : Wurzeln als Potenzen schreiben

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir machen was mit Wurzeln!

SENSEI:

Oh, dann kannst du mir sicher sagen, was die Wurzel aus sechzehn ist?

SCHÜLER:

Natürlich, das ist vier, weil vier mal vier sechzehn ist.

SENSEI:

Stimmt genau! Und was ist die vierte Wurzel aus sechzehn?

SCHÜLER:

Ich glaube, das ist zwei, weil zwei viermal mit sich selbst malgenommen sechzehn ergibt.

SENSEI:

Auch richtig! Dann kannst du mir sicher auch sagen, was die erste Wurzel aus sechzehn ist, oder?

SCHÜLER:

Aber Sensei, das macht doch keinen Sinn … eine Zahl zu suchen, die überhaupt nicht mit sich selbst multipliziert wird und dann sechzehn ergibt …                                                                    

SENSEI:

Doch, durchaus … wenn sechzehn mit nichts multipliziert wird, dann bleibt es eben sechzehn!

SCHÜLER:

Also wäre die erste Wurzel aus sechzehn genau   sechzehn selbst?

SENSEI:

Du hast es erfasst. Aber jetzt wird es noch schwieriger. Was wäre denn dann die 0,5te Wurzel aus 16

SCHÜLER:

Ja kann man das denn überhaupt sagen?

SENSEI:

Nun,genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgabe: 

Gib an und erläutere, welcher Wert für die 0,5te Wurzel aus 16 sinnvoll erscheint!


Klasse 9/2 : Den Tangens als weitere Winkelfunktion definieren

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir haben gelernt, wie man den Sinus und Cosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck über die Längen der Katheten und der Hypotenuse berechnet.

SENSEI:

Aber du kannst sicherlich auch Sinus und Cosinus mit dem Taschenrechner berechnen?

SCHÜLER:

Na klar, das haben wir auch geübt, gibt dafür Tasten am   Taschenrechner.

SENSEI:

Gut. Dann wirst du jetzt lernen, was der Tangens eines Winkels ist.

SCHÜLER:

Und was soll das sein?

SENSEI:

Nun, den Tangens eines Winkels erhältst du, wenn du im rechtwinkligen Dreieck die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Ankathete des Winkels teilst.

SCHÜLER:

Das ist ja einfach, fast genauso wie beim Sinus und Cosinus, nur   ohne die Hypotenuse!

SENSEI:

Ja, sehr einfach. Und auch dafür gibt es eine Taste auf dem Taschenrechner. Aber eigentlich brauchst du die gar nicht, es reichen die Tasten für den Sinus und den Cosinus, damit kannst du auch schon den Tangens berechnen.

SCHÜLER:

Aber Sensei, was hat denn der Tangens mit Sinus und Cosinus eines Winkels zu tun?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Erkläre, wie du den Wert des Tangens eines Winkels mit dem Taschenrechner nur unter Benutzung der Sinus- und Cosinus-Taste berechnen kannst, also ohne die Tangens-Taste zu benutzen.

Gib an, welcher Zusammenhang dir hilft, dass du den Wert des Tangens eines Winkels mit dem Taschenrechner sogar unter Benutzung nur der Sinus-Taste (also auch ohne Cosinus-Taste) berechnen kannst.


Klasse 9/3 : Den trigonometrischen Pythagoras beweisen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir machen Trigonometrie, Winkelfunktionen, Sinus und Kosinus …

SENSEI:

Dann weißt du bestimmt, dass Sinus und Kosinus miteinander zusammenhängen?

SCHÜLER:

Na klar, die sind ja beide nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert, nur einmal nimmt man die Gegenkathete und das andere Mal die Ankathete, die Hypotenuse kommt immer vor.

SENSEI:

Dann weißt du sicher auch, dass für jeden beliebigen spitzen Winkel α stets [sin⁡(α)]^2+[cos⁡(α)]^2=1 ist, oder?

SCHÜLER:

Nein, ist mir neu.Aber irgendwie sieht das aus wie der Satz des Pythagoras, oder?

SENSEI:

Genau. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Der eben genannte Zusammenhang heißt deswegen unter Mathematikern auch „Trigonometrischer Pythagoras“.

SCHÜLER:

Ja, aber warum ist das so?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Erstelle eine Skizze, die den Sachverhalt des „Trigonometrischen Pythagoras“ darstellt.

Begründe die   Richtigkeit des „Trigonometrischen Pythagoras“, d,h. der Aussage .d,h. der Aussage [sin⁡(α)]^2+[cos⁡(α)]^2=1.


Klasse 9/4 : Mit dreidimensionalen Körpern umgehen

Der KÜNSTLER, übrigens ein guter Freund des  SENSEI, hat einen quaderförmigen Marmorblock mit den Maßen 0,5x1x2 Metern. Aus diesem Block soll er eine Skulptur als Gedenktafel erstellen. Sein Auftraggeber hat ihm nebenstehende Skizze zur Verfügung gestellt. 


Noch ehe der KÜNSTLER mit der mit der Arbeit angefangen hat, kommt zufällig der SENSEI des Weges.               

SENSEI:

Hallo, mein Freund, was willst du Schönes aus diesem Marmorblock machen?

KÜNSTLER:

Einen Gedenkstein. Und so soll der Gedenkstein aussehen: Es ist einenquaderförmiger Marmorblock mit den Maßen 0,5x1x2 Metern.Die Skulptur soll zwei Meter hoch und breiter als tief (nach hinten gehend) sein soll. Der Sockel soll nur im unteren Viertel der Skulptur quaderförmig bleiben.

KÜNSTLER zeigt SENSEI die Skizze.

SENSEI:

Schön … wenn es dein Auftraggeber so will! Aber ich fände es schöner, wenn der Gedenkstein aus einem Quader mit einer aufgesetzten Viertelkugel bestünde, wobei vorne die glatte Fläche für die Inschrift wäre!

KÜNSTLER:

Aber geht denn das überhaupt?

SENSEI:

Du hast Glück, grundsätzlich ja … Aber natürlich nicht, wenn der Sockel so mit den angegebenen Maßen bleiben soll.

KÜNSTLER:

Aber wie denn dann?

SENSEI:

Nun, genau das ist die Frage, die dir meine treuen und inzwischen gut im Umgang mit Problemen geübten Schüler sicherlich beantworten können …


Aufgaben: 

Begründe, warum es grundsätzlich möglich ist, im oberen Teil den Marmorblock zu einer Viertelkugel „zurechtzuschneiden“. 

Gib an, wie sich dann die Sockelhöhe verändert. 


Klasse 10/1 : "Dreimol Null es Null es Null …“ untersuchen     

Der SENSAI singt fröhlich

SENSEI:

Dreimol Null es Null es Null, denn mer woren en d'r Kayjass en d'r Schu…u…ul …

SCHÜLER:

Sensei! Was soll das bedeuten?

SENSEI:

Es ist Karneval, da singt man so- was, zumindest in Köln! Aber ihr seid ja immer so ernst …Also: Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir behandeln Potenzfunktionen …

SENSEI:

Und welche Zahlen dürfen bei euch als Exponenten auftreten?

SCHÜLER:

Alle ganzen Zahlen, also 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, und dann immer so weiter …

SENSEI:

Aber was ist mit der Null?

SCHÜLER:

Aber Sensei, das ist doch besonders einfach, schließlich ist jede Zahl hoch null immer eins, das haben wir bewiesen!

SENSEI:

Dreimol Null is Null es Null ... Aber stimmt das auch für null mal die Null, also null hoch null? Denk doch mal an das mathematische Permanenzprinzip!                                                                      

SCHÜLER:

Darüber habe ich mir bisher noch keine Gedanken gemacht …

SENSEI:

Also dann ist es genau jetzt -Karneval hin , Karneval her- an der Zeit, darüber nachzudenken…Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Erläutere, warum 0^0 nicht sinnvoll definiert werden kann.

Erörtere, ob die Potenzfunktion p0 mit p0(x)=x^0 eher den Potenzfunktionen mit positiven oder negativen Exponenten zuzuordnen ist.


Klasse 10/2 : Probleme am Einheitskreis lösen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir beschäftigen uns mit dem Einheitskreis, schon eine lange Zeit…

SENSEI:

Ja, ja,die Zeit … Mit der Zeit ist es so ein Ding. Siehst du die Uhr dort an dem Turm?

SCHÜLER:

Na klar, eine ganz normale Uhr mit zwei Zeigern, dem großen Zeiger für die Minuten und dem kleinen Zeiger für die Stunden.

SENSEI:

Genau. Und weil die Zeit aber nur langsam vergeht, bewegen sich auch die Zeiger sehr langsam…

SCHÜLER:

Klar, und das immer mit der gleichen Geschwindigkeit, da ja die Zeit immer gleich vergeht, oder?

SENSEI:

Das schon, aber der große Zeiger -der Minutenzeiger-  legt an seiner Spitze ja einen längeren Weg zurück als der kleine Zeiger an seiner Spitze, außerdem läuft der auch so viel langsamer. Und du weißt ja bestimmt, dass Geschwindigkeit der zurückgelegte Weg pro Zeit ist, also die Weglänge geteilt durch die verstrichene Zeit.

SCHÜLER:

Klar, ich muss einfach den zurückgelegten Weg durch die Zeit teilen, entweder Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde.

SENSEI:

Genau. Übrigens ist der Große Zeiger der Uhr genau ein Meter lang.

SCHÜLER:

Ja und?

SENSEI:

Nun, dann solltest du einmal darüber nachdenken, wie schnell sich dieser Zeiger bewegt, denn das ist heute meine Aufgabe für dich …

Aufgaben: 

Begründe, warum es nicht sinnvoll ist, für einen Zeiger einer Uhr von der Geschwindigkeit des Minutenzeigers zu sprechen.

Bestimme, mit welcher Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) sich die Spitze des Minutenzeigers der Turmuhr bewegt.


Klasse 10/3 Besonderheiten des dekadischen Logarithmus beweisen                                        

SENSEI:

Was be handelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik? 

SCHÜLER:

Wir haben jetzt gelernt, was Logarithmen sind. 

SENSEI:

Dann habt ihr auch bestimmt den dekadischen Logarithmus behandelt?

SCHÜLER:

Na klar, das ist doch ein ganz einfacher Logarithmus, nämlich der zur Basis 10!

SENSEI:

Genau. Und die 10 hat ja in unserem Re-chensystem eine sehr wichtige Bedeu-tung, hast du sicher gelernt.

SCHÜLER:

Klar, das lernt man doch schon in der Grundschule, wir geben alle Zah-len ja mit den Vielfachen von Zehnerpotenzen an.

SENSEI:

Genau, der Mathematiker nennt das „Stellenwertsystem“. 

SCHÜLER:

Ich erinnere mich … Einer, Zehner, Hunderter, Tausender usw. Aber jetzt sind wir doch bei den Logarithmen, und zum Rechnen nehmen wir den Taschenrechner.                                                     

SENSEI:

Na dann bestimme mir doch mal den Logarithmus   von 512 zur Basis 10.

 SCHÜLER berechnet den Wert mit dem Taschenrechner und zeigt ihn dem SENSEI

SENSEI:

Richtig, gut gemacht. Und nun berechne auch mit dem Taschenrechnerden Logarithmus von 5,12 zur Basis 10. Und dann schau einmal, was dabei herauskommt ...                                          

SCHÜLER:

(erstaunt) Das ist ja ein merkwürdiger Zufall!

SENSEI:

Nein, das ist es nicht, sondern das muss sogar so sein, und zwar immer!

SCHÜLER:

Aber warum denn?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Eerläutere, weshalb der SCHÜLER so erstaunt ist.

Beweise  Zusammenhang durch eine stichwortartig kommentierte Rechnung.

 

Beschreibe den festgestellten Zusammenhang durch eine möglichst allgemeine Formel!


Klasse 10/4 : Den Begriff "Binomialkoeffizient" erklären

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir betreiben Kombinatorik und haben jetzt das Urnenmodell „Ohne Reihenfolge / Ohne Zurücklegen“ behandelt.

SENSEI:

Dann weißt du sicherlich, wie viele Mög-lichkeiten es gibt, diesbezüglich aus fünf Objekten zwei auszuwählen? 

SCHÜLER:

Klar, das ist dann der Binominalkoeffi-zient „5 über 3“, also genau 5! geteilt durch 3! und (5-2)!=3!, also zehn. 

SENSEI:

Richtig gerechnet, aber es heißt „Binomialkoeffizient“, ohne „n“ in der Mitte. Hast du eine Idee, wo dieser Begriff herkommen könnte?

SCHÜLER:

Nee, mit „Binomi“ verbinde ich nur die Binomischen Formeln. Und ich weiß, dass ein Koeffizient eine Zahl ist, die vor einem Term steht. 

SENSEI:

Genau. Was passiert denn, wenn du z.B. (a+b)^5 rechnen willst?

SCHÜLER:

Naja, dann muss ich halt jeden Term jeder Klammer mit jedem Term der anderen Klammern multiplizieren und dann gleiches zusammenfassen.

SENSEI:

Genau. Dabei   erhälst du dann jeweils eine Anzahl von Termen a^5, a^4*b, a^3*b^2, a^2*b^3, a*b^4, b^5.Wie oft kommt denn dabei der Term a^3*b^2 vor?                                               

SCHÜLER:

Das müsste ich jetzt ausrechnen, wird eine lange, langweilige Rechnung.

SENSEI:

Nein, das ist ganz einfach. Er kommt zehnmal vor!

SCHÜLER:

Aber wie hast du das so schnell berechnet?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgabe: 

Begründe, warum ohne umständliches Klammernausrechnen und Zusammenfassen bestimmt werden kann, dass der Term a^3*b^2 beim Ausmultiplizieren von (a+b)5^ genau zehnmal vorkommt.

Erläutere, woher der Binomialkoeffizient "n über k" seinen Namen hat.


Klasse 10/5 : Wahrscheinlichkeiten untersuchen

SENSEI:

Was behandelt ihr gerade im schönen Fach Mathematik?

SCHÜLER:

Wir beschäftigen uns mit der Wahr-scheinlichkeitsrechnung.

SENSEI:

Wahrscheinlichkeit ist ein spannendes Thema. Aber schon Blaire PASCAL, der Begründer der Wahrscheinlichkeits-rechnung hat gesagt: „Alles, was nur wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch!“  Also wozu braucht man dann ei-gentlich Wahrscheinlichkeitsrechnung? 

SCHÜLER:

Na weil man schließlich vorhersagen will, was wahrscheinlich passie-ren wird, wenn man es nicht genau vorhersagen kann …

SENSEI:

Kann man das denn überhaupt? Schaue dir diese Münze an. Auf einer Seite ist eine Zahl, auf der anderen ein Adler. Auf welcher Seite wird sie liegenbleiben, wenn ich sie im Bogen auf den Boden werfe?

SCHÜLER:

Das kann man natürlich überhaupt nicht sagen, die Wahrscheinlichkeit ist doch für beide Seiten gleich groß, oder?

SENSEI: 

(lacht) Nun, vielleich fällt dir die Prognose leichter, wenn ich dir sage, dass bei den letzten fünf Würfen der Münze jeweils der Adler oben lag, vielleicht weil der Adler fliegen kann?

SCHÜLER:

Na das ganz bestimmt nicht!

SENSEI:

Aber was wird denn wahrscheinlich passieren, wenn ich jetzt die Münze werfe? 

SCHÜLER:

Dann wird höchstwahrscheinlich die Zahl oben liegen, dass muss doch nun endlich mal passieren.

SENSEI:

Das, lieber Schüler, war die schlechteste aller möglichen Antworten.

SCHÜLER:

Aber warum denn?

SENSEI:

Nun, genau das ist heute meine Frage an dich ...

Aufgaben: 

Begründe, unter welchen Voraussetzungen tatsächlich die Chancen für Adler und Zahl beim 6. Versuch gleich sind. 

Begründe, warum es sinnvoll ist anzunehmen, dass beim 6. Versuch wieder Adler erscheint.

Begründe, warum die Antwort vom SCHÜLER die schlechteste aller möglichen Antworten ist.

Begründe, warum der Ausspruch von Blaire PASCAL eigentlich unsinnig ist.